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In mwbwmatematica, il mwcalogaritmo di un numero in una data base è l'mwcqesponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.cite-ref-1[1] In generale, se mwdg b = a c {\displaystyle b=a^{c}} , allora mwdw c {\displaystyle c} è il logaritmo in base mwea a {\displaystyle a} di mweq b {\displaystyle b} , cioè, scritto in notazione matematica,

mwfa c = log a ⁡ ⁡ b . {\displaystyle c=\log _{a}b.}

Per esempio, il logaritmo in base mwfg 10 {\displaystyle 10} di mwfw 1000 {\displaystyle 1000} è mwga 3 {\displaystyle 3} poiché bisogna elevare mwgq 10 {\displaystyle 10} alla terza potenza per ottenere mwgg 1000 {\displaystyle 1000} , ossia mwgw 10 3 = 1000 {\displaystyle 10^{3}=1000} . Facendo riferimento alla succitata formula, avremo mwha a = 10 {\displaystyle a=10} , mwhq b = 1000 {\displaystyle b=1000} e mwhg c = 3 {\displaystyle c=3} .

I logaritmi furono introdotti da mwiaNepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di mwiqtavole di logaritmi.

La funzione mwiw log a ⁡ ⁡ ( x ) : : ( 0 , + ∞ ∞ ) → → R {\displaystyle \log _{a}(x)\colon (0,+\infty )\to \mathbb {R} } (logaritmo in base mwja a {\displaystyle a} di mwjq x {\displaystyle x} ) è la mwjgfunzione inversa della funzione esponenziale in base mwjw a {\displaystyle a} data da mwka a x : : R → → ( 0 , + ∞ ∞ ) . {\displaystyle a^{x}\colon \mathbb {R} \to (0,+\infty ).}

È di importanza fondamentale il mwkglogaritmo naturale, cioè il logaritmo che ha come base il mwkwnumero di Nepero, indicato con mwla e ≈ ≈ 2 , 718. {\displaystyle e\approx 2,718.} Il logaritmo naturale è l'inverso della mwlqfunzione esponenziale mwlg e x : : R → → ( 0 , + ∞ ∞ ) . {\displaystyle e^{x}\colon \mathbb {R} \to (0,+\infty ).}

• Definizione

• Esempi

• Proprietà dei logaritmi

• Prodotto, quoziente, potenza e radice

• Cambiamento di base

• Computazione

• Algoritmo ingenuo

• Generalizzazione

• Basi del logaritmo

• Storia

• Tavole dei logaritmi e applicazioni storiche

• Funzione logaritmo

• Derivata

• Convessità e concavità

• Integrale

• Funzione analitica

• Relazione tra funzione esponenziale e logaritmica

• Logaritmo complesso

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Dati due mwmgnumeri reali positivi mwmw a {\displaystyle a} e mwna b {\displaystyle b} , con mwnq a ≠ ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} , si definisce mwnglogaritmo in base mwnw a {\displaystyle a} di mwoa b {\displaystyle b} l'esponente a cui elevare mwoq a {\displaystyle a} per ottenere mwog b . {\displaystyle b.} Il numero mwow b {\displaystyle b} viene chiamato mwpaargomento del logaritmo. In altre parole, se mwpq b = a c , {\displaystyle b=a^{c},} si scrive che

mwqa c = log a ⁡ ⁡ b {\displaystyle c=\log _{a}b}

la cui pronuncia risulta: "mwqg c {\displaystyle c} è il logaritmo in base mwqw a {\displaystyle a} di mwra b . {\displaystyle b.} "

Le mwrgcondizioni di esistenza del logaritmo possono essere riassunte come segue:

• La base mwsq a {\displaystyle a} deve essere positiva e diversa da mwsg 1 {\displaystyle 1} .

• L'argomento mwta b {\displaystyle b} deve essere positivo.

Ossia dal seguente sistema di equazioni:

mwua { a > 0 a ≠ ≠ 1 b > 0 {\displaystyle {\begin{cases}a>0\\a\neq 1\\b>0\end{cases}}}

Le ipotesi sopra riportare su mwug a {\displaystyle a} e mwuw b {\displaystyle b} sono necessarie per avere l'esistenza e l'unicità di mwva c , {\displaystyle c,} infatti:

• se mwvw a = 0 {\displaystyle a=0} e mwwa b ≠ ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , non esistono mwwq c {\displaystyle c} tali che mwwg b = a c ; {\displaystyle b=a^{c};}

• se mwxa a = 0 {\displaystyle a=0} e mwxq b = 0 {\displaystyle b=0} , esistono infiniti mwxg c {\displaystyle c} con tale proprietà;

• se mwya a = 1 {\displaystyle a=1} e mwyq b ≠ ≠ 1 {\displaystyle b\neq 1} , non esistono mwyg c {\displaystyle c} con tale proprietà, infatti non esiste nessun numero, a parte mwyw 1 {\displaystyle 1} stesso, che possa essere ottenuto attraverso una potenza di mwza 1 ; {\displaystyle 1;}

• se mwzg a = 1 {\displaystyle a=1} e mwzw b = 1 {\displaystyle b=1} , esistono infiniti mwaa c {\displaystyle c} con tale proprietà;

• se mwag a < 0 {\displaystyle a<0} , l'elevamento a potenza mwaw a c {\displaystyle a^{c}} non è definito per tutti i numeri reali mwba c {\displaystyle c} , può essere definito per ogni reale mwbq a {\displaystyle a} solo sui mwbgnumeri razionali esprimibili con una frazione con denominatore dispari e, di conseguenza, anche sui mwbwnumeri interi;

• il risultato di un elevamento a potenza di un numero positivo è un numero positivo, quindi, per l'osservazione precedente, deve necessariamente essere mwcq b > 0. {\displaystyle b>0.}

Per esempio, mwda log 3 ⁡ ⁡ 81 = 4 {\displaystyle \log _{3}81=4} perché mwdq 3 4 = 3 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 = 81. {\displaystyle 3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81.}

I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell'argomento). Infatti

mweq log 3 ⁡ ⁡ ( 1 3 ) = − − 1 , {\displaystyle \log _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=-1,}

poiché mwew 3 − − 1 = 1 3 . {\displaystyle 3^{-1}={\frac {1}{3}}.}

Dalle relazioni mwfw a 1 = a {\displaystyle a^{1}=a} e mwga a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} , che valgono qualsiasi sia la base mwgq a {\displaystyle a} , derivano le proprietà di base:

mwha log a ⁡ ⁡ a = 1 , {\displaystyle \log _{a}{a}=1,}

mwhg log a ⁡ ⁡ 1 = 0. {\displaystyle \log _{a}1=0.}

Inoltre, dalla definizione segue che:

mwig a log a ⁡ ⁡ x = log a ⁡ ⁡ a x = x . {\displaystyle a^{\log _{a}x}=\log _{a}{a^{x}}=x.}

Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del mwjqquoziente di due numeri non è altro che la mwjgdifferenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono

mwkq log a ⁡ ⁡ ( x y ) = log a ⁡ ⁡ x + log a ⁡ ⁡ y . {\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y.}

I logaritmi, assieme alle mwlaformule di prostaferesi, consentono quindi di trasformare i prodotti in somme ed i quozienti in differenze, proprietà questa talora molto utile nella semplificazione algebrica.

Dimostrazione

Il logaritmo log a ⁡ ⁡ ( x ) {\displaystyle \log _{a}(x)} è, per definizione, l'esponente che si deve mettere alla base a {\displaystyle a} per ottenere x {\displaystyle x} come risultato:

a log a ⁡ ⁡ ( x ) = x . {\displaystyle a^{\log _{a}(x)}=x.}

Se scriviamo:

a log a ⁡ ⁡ ( x ) = x , {\displaystyle a^{\log _{a}(x)}=x,}

a log a ⁡ ⁡ ( y ) = y . {\displaystyle a^{\log _{a}(y)}=y.}

Usando le proprietà dell'esponenziale:

x y = a log a ⁡ ⁡ ( x ) ⋅ ⋅ a log a ⁡ ⁡ ( y ) = a log a ⁡ ⁡ ( x ) + log a ⁡ ⁡ ( y ) . {\displaystyle xy=a^{\log _{a}(x)}\cdot a^{\log _{a}(y)}=a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}.}

Uguagliando il primo e l'ultimo membro dell'uguaglianza e applicando il logaritmo ad ambo i membri si ottiene:

log a ⁡ ⁡ ( x y ) = log a ⁡ ⁡ ( a log a ⁡ ⁡ ( x ) + log a ⁡ ⁡ ( y ) ) {\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)})}

Poiché log a ⁡ ⁡ ( a log a ⁡ ⁡ ( x ) + log a ⁡ ⁡ ( y ) ) {\displaystyle \log _{a}(a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)})} rappresenta quel numero a cui si deve elevare la base a {\displaystyle a} per ottenere a log a ⁡ ⁡ ( x ) + log a ⁡ ⁡ ( y ) {\displaystyle a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}} , il suo valore è l'esponente stesso log a ⁡ ⁡ ( x ) + log a ⁡ ⁡ ( y ) . {\displaystyle \log _{a}(x)+\log _{a}(y).} Quindi si ottiene:

log a ⁡ ⁡ ( x y ) = log a ⁡ ⁡ ( x ) + log a ⁡ ⁡ ( y ) {\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}

mwlw log a ⁡ ⁡ x y = log a ⁡ ⁡ x − − log a ⁡ ⁡ y . {\displaystyle \log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y.}

Dimostrazione

Se scriviamo:

a log a ⁡ ⁡ ( x ) = x , {\displaystyle a^{\log _{a}(x)}=x,}

a log a ⁡ ⁡ ( y ) = y . {\displaystyle a^{\log _{a}(y)}=y.}

Usando le proprietà dell'esponenziale:

x y = a log a ⁡ ⁡ ( x ) a log a ⁡ ⁡ ( y ) = a log a ⁡ ⁡ ( x ) − − log a ⁡ ⁡ ( y ) . {\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {a^{\log _{a}(x)}}{a^{\log _{a}(y)}}}=a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}.}

Uguagliando il primo e l'ultimo membro dell'uguaglianza e applicando il logaritmo ad ambo i membri si ottiene:

log a ⁡ ⁡ ( x y ) = log a ⁡ ⁡ ( a log a ⁡ ⁡ ( x ) − − log a ⁡ ⁡ ( y ) ) . {\displaystyle \log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}).}

Poiché log a ⁡ ⁡ ( a log a ⁡ ⁡ ( x ) − − log a ⁡ ⁡ ( y ) ) {\displaystyle \log _{a}(a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)})} rappresenta quel numero a cui si deve elevare la base a {\displaystyle a} per ottenere a log a ⁡ ⁡ ( x ) − − log a ⁡ ⁡ ( y ) {\displaystyle a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}} , il suo valore è l'esponente stesso log a ⁡ ⁡ ( x ) − − log a ⁡ ⁡ ( y ) {\displaystyle \log _{a}(x)-\log _{a}(y)} . Quindi si ottiene:

log a ⁡ ⁡ ( x y ) = log a ⁡ ⁡ ( x ) − − log a ⁡ ⁡ ( y ) . {\displaystyle \log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y).}

Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza mwmg k {\displaystyle k} è uguale a mwmw k {\displaystyle k} moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice mwna k {\displaystyle k} -esima di un numero è uguale all'inverso di mwnq k {\displaystyle k} per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell'inverso di un numero è l'opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono le formule:

mwoa log a ⁡ ⁡ x k = k ⋅ ⋅ log a ⁡ ⁡ x . {\displaystyle \log _{a}x^{k}=k\cdot \log _{a}x.}

Dimostrazione

Se scriviamo:

x k = ( a log a ⁡ ⁡ x ) k . {\displaystyle x^{k}=\left(a^{\log _{a}x}\right)^{k}.}

Usando le proprietà dell'esponenziale:

x k = a k log a ⁡ ⁡ ( x ) . {\displaystyle x^{k}=a^{k\log _{a}(x)}.}

Questo significa che k log a ⁡ ⁡ ( x ) {\displaystyle k\log _{a}(x)} è l'esponente a cui elevare la base a {\displaystyle a} per ottenere x k {\displaystyle x^{k}} , quindi si ottiene

log a ⁡ ⁡ ( x k ) = k log a ⁡ ⁡ ( x ) . {\displaystyle \log _{a}(x^{k})=k\log _{a}(x).}

mwpa log a ⁡ ⁡ x k = 1 k log a ⁡ ⁡ ( x ) , {\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{k}]{x}}={\frac {1}{k}}\log _{a}(x),}

mwpg log a ⁡ ⁡ 1 x = − − log a ⁡ ⁡ x . {\displaystyle \log _{a}{\frac {1}{x}}=-\log _{a}x.}

Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi mwqq 10 {\displaystyle 10} ed mwqg e {\displaystyle e} ).

Se mwra b {\displaystyle b} , mwrq x {\displaystyle x} , e mwrg k {\displaystyle k} sono tutti numeri reali positivi (con mwrw b ≠ ≠ 1 {\displaystyle b\neq 1} e mwsa k ≠ ≠ 1 {\displaystyle k\neq 1} ):

mwsw log b ⁡ ⁡ x = log k ⁡ ⁡ x log k ⁡ ⁡ b {\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}}

dove mwtq k {\displaystyle k} è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente

mwua log k ⁡ ⁡ b ⋅ ⋅ log b ⁡ ⁡ x = log k ⁡ ⁡ x {\displaystyle \log _{k}b\cdot \log _{b}x=\log _{k}x}

e segue dalla relazione

mwva k log k ⁡ ⁡ b ⋅ ⋅ log b ⁡ ⁡ x = ( k log k ⁡ ⁡ b ) log b ⁡ ⁡ x = b log b ⁡ ⁡ x = x . {\displaystyle k^{\log _{k}b\cdot \log _{b}x}=(k^{\log _{k}b})^{\log _{b}x}=b^{\log _{b}x}=x.}

Dalla formula del cambiamento di base, ponendo mwvg k = x {\displaystyle k=x} , si ricava la relazione seguente:

mwwq log b ⁡ ⁡ x = 1 log x ⁡ ⁡ b . {\displaystyle \log _{b}x={\frac {1}{\log _{x}b}}.}

Supponiamo di voler calcolare mwxa c = log a ⁡ ⁡ b {\displaystyle c=\log _{a}b} , con mwxq a ∈ ∈ ( 1 ; + ∞ ∞ ) {\displaystyle a\in (1;+\infty )} e mwxg b ∈ ∈ [ 1 ; + ∞ ∞ ) {\displaystyle b\in [1;+\infty )} , rappresentato in una certa base mwxw r ≥ ≥ 2 {\displaystyle r\geq 2} .

Per calcolare la mwywparte intera del logaritmo si procede nel modo seguente:

1. poni mwzg q := b {\displaystyle q:=b} , mwzw c := 0 {\displaystyle c:=0} e vai al punto 3;

2. poni mw0q q := q a {\displaystyle q:={\frac {q}{a}}} e mw0g c := c + 1 {\displaystyle c:=c+1} ;

3. se mw1a q ≥ ≥ a {\displaystyle q\geq a} , vai al punto 2, altrimenti procedi con il calcolo della mantissa.

Al termine della procedura, mw1g c {\displaystyle c} equivale alla parte intera di mw1w log a ⁡ ⁡ b {\displaystyle \log _{a}b} .

Per calcolare le prime mw2g n {\displaystyle n} cifre della mantissa, rappresentata in una certa base mw2w r {\displaystyle r} , si esegue la seguente iterazione per mw3a i = 1 , … … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} :

1. poni mw3w q := q r {\displaystyle q:=q^{r}} , mw4a d i := 0 {\displaystyle d_{i}:=0} e vai al punto 3;

2. poni mw4g q := q a {\displaystyle q:={\frac {q}{a}}} e mw4w d i := d i + 1 {\displaystyle d_{i}:=d_{i}+1} ;

3. se mw5q q ≥ ≥ a {\displaystyle q\geq a} , vai al punto 2, altrimenti termina l'iterazione.

Al termine di ogni iterazione, mw5w d i {\displaystyle d_{i}} equivale all'mw6a i {\displaystyle i} -esima cifra della mantissa.

L'algoritmo può essere generalizzato anche per valori di mw6w a , b ∈ ∈ ( 0 ; 1 ) {\displaystyle a,b\in (0;1)} , utilizzando le proprietà dei logaritmi. Abbiamo i seguenti tre casi:

• Se mw7g a ∈ ∈ ( 0 ; 1 ) {\displaystyle a\in (0;1)} e mw7w b ∈ ∈ [ 1 ; + ∞ ∞ ) {\displaystyle b\in [1;+\infty )} , allora, cambiando la base con mw8a 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} , segue che mw8q log a ⁡ ⁡ b = log 1 a ⁡ ⁡ b log 1 a ⁡ ⁡ a = log 1 a ⁡ ⁡ b − − 1 = − − log 1 a ⁡ ⁡ b {\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{\frac {1}{a}}b}{\log _{\frac {1}{a}}a}}={\frac {\log _{\frac {1}{a}}b}{-1}}=-\log _{\frac {1}{a}}b} ; possiamo dunque calcolare mw8g log 1 a ⁡ ⁡ b {\displaystyle \log _{\frac {1}{a}}b} , dato che mw8w a ∈ ∈ ( 0 ; 1 ) ⟹ ⟹ 1 a ∈ ∈ ( 1 ; + ∞ ∞ ) {\displaystyle a\in (0;1)\implies {\frac {1}{a}}\in (1;+\infty )} .

• Se mw9q a ∈ ∈ ( 1 ; + ∞ ∞ ) {\displaystyle a\in (1;+\infty )} e mw9g b ∈ ∈ ( 0 ; 1 ) {\displaystyle b\in (0;1)} , allora mw9w log a ⁡ ⁡ b = log a ⁡ ⁡ b ( − − 1 ) ⋅ ⋅ ( − − 1 ) = ( − − 1 ) ⋅ ⋅ log a ⁡ ⁡ b − − 1 = − − log a ⁡ ⁡ 1 b {\displaystyle \log _{a}b=\log _{a}b^{(-1)\cdot (-1)}=(-1)\cdot \log _{a}b^{-1}=-\log _{a}{\frac {1}{b}}} ; possiamo dunque calcolare mw-a log a ⁡ ⁡ 1 b {\displaystyle \log _{a}{\frac {1}{b}}} .

• Se mw-g a ∈ ∈ ( 0 ; 1 ) {\displaystyle a\in (0;1)} e mw-w b ∈ ∈ ( 0 ; 1 ) {\displaystyle b\in (0;1)} , allora, combinando i precedenti risultati, mw-a log a ⁡ ⁡ b = − − log a ⁡ ⁡ 1 b = − − ( − − log 1 a ⁡ ⁡ 1 b ) = log 1 a ⁡ ⁡ 1 b {\displaystyle \log _{a}b=-\log _{a}{\frac {1}{b}}=-\left(-\log _{\frac {1}{a}}{\frac {1}{b}}\right)=\log _{\frac {1}{a}}{\frac {1}{b}}} .

Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da mw-w 1 {\displaystyle 1} , quelle più utilizzate sono tre:

• Base 10 (logaritmi mwaqidecimali o mwaqmvolgari o di mwaqqmwaquBriggs), usati per le operazioni di calcolo (e per il calcolo di mwaqypH e pOH in chimica); li si indica con mwaqclogmwaqg10, o con mwaqkLog, oppure anche con mwaqolog quando la base a cui ci si riferisce è chiara dal contesto (simbolo mwaqsISO mwaqwlg).

• Base mwaq4e (mwaq8mwaralogaritmi naturali o mwaremwarineperiani), usati nel mwarmcalcolo infinitesimale; li si indica con mwarqln, oppure con mwarulog quando la base a cui ci si riferisce è chiara dal contesto (simbolo ISO mwaryln).

• Base 2 (logaritmi mwargbinari), usati soprattutto nell'analisi della mwarkcomplessità computazionale, nella mwaroteoria dei codici e nella mwarsteoria dei segnali; li si indica con mwarwlogmwar02, oppure con mwar4log quando la base a cui ci si riferisce è chiara dal contesto (simbolo ISO mwar8lb).

Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese mwasiNepero nel mwasm1614, in un libro intitolato mwasqmwasuMirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. mwasyJoost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.

Per sottrazioni successive, Nepero calcolò mwasg ( 1 − − 10 − − 7 ) L {\displaystyle (1-10^{-7})^{L}} per mwask L {\displaystyle L} da mwaso 1 {\displaystyle 1} a mwass 100 {\displaystyle 100} ; il risultato per mwasw L = 100 {\displaystyle L=100} è approssimativamente mwas0 0 , 99999 {\displaystyle 0,99999} , ovvero mwas4 1 − − 10 − − 5 {\displaystyle 1-10^{-5}} . Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per mwas8 10 7 ( 1 − − 10 − − 5 ) L {\displaystyle 10^{7}(1-10^{-5})^{L}} , con mwata L {\displaystyle L} da mwate 1 {\displaystyle 1} a mwati 50 {\displaystyle 50} . Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero mwatm N {\displaystyle N} da 5 a 10 milioni, il numero mwatq L {\displaystyle L} che risolve l'equazione

mwatc N = 10 7 ( 1 − − 10 − − 7 ) L . {\displaystyle N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}.}

Nepero chiamò inizialmente questo valore un "numero artificiale", ma successivamente introdusse il nome "logaritmo", dalle parole del mwatkgreco "logos", proporzione, e "arithmos", numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli permisero di calcolare

mwatw L = log ( 1 − − 10 − − 7 ) ( N 10 7 ) ≈ ≈ 10 7 log 1 e ( N 10 7 ) = − − 10 7 log e ( N 10 7 ) , {\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{\frac {1}{e}}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),}

dove l'approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:

mwaua ( 1 − − 10 − − 7 ) 10 7 ≈ ≈ 1 e . {\displaystyle {(1-10^{-7})}^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.}

L'invenzione di Nepero fu subito largamente acclamata: i lavori di mwauiBonaventura Cavalieri (Italia), mwaumEdmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e mwauuGiovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere velocemente l'idea.

Nel mwauc1647, il fiammingo mwaugGregorio di San Vincenzo collegò i logaritmi alla mwaukquadratura dell'mwauoiperbole, dimostrando che l'area mwaus A ( t ) {\displaystyle A(t)} sottesa da mwauw 1 {\displaystyle 1} a mwau0 t {\displaystyle t} soddisfa

mwava A ( t u ) = A ( t ) + A ( u ) . {\displaystyle A(tu)=A(t)+A(u).}

Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da mwaviNicolaus Mercator nel suo scritto mwavmLogarithmotechnia pubblicato nel mwavq1668, anche se precedentemente l'insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel mwavu1619.

Intorno al 1730, mwavcEulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come

mwavo e x = lim n → → + ∞ ∞ ( 1 + x n ) n , {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},}

mwavw ln ⁡ ⁡ ( x ) = lim n → → + ∞ ∞ n ( x 1 / n − − 1 ) . {\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow +\infty }n(x^{1/n}-1).}

Eulero inoltre dimostrò che queste due funzioni erano una l'inversa dell'altra.

Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all'avanzamento della scienza, e in particolare dell'mwawaastronomia. Lo strumento che ne permise l'uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da mwawiHenry Briggs nel mwawm1617, subito dopo l'invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di mwawq log b ⁡ ⁡ ( x ) {\displaystyle \log _{b}(x)} e di mwawu b x {\displaystyle b^{x}} per ogni numero mwawy x {\displaystyle x} in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base mwawc b {\displaystyle b} scelta (solitamente mwawg b = 10 {\displaystyle b=10} ). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base mwawk 10 {\displaystyle 10} di tutti i numeri da mwawo 1 {\displaystyle 1} a mwaws 1000 {\displaystyle 1000} , con una precisione di otto cifre decimali. La funzione mwaww b x {\displaystyle b^{x}} , poiché inversa del logaritmo, venne chiamata mwaw0antilogaritmo.

Il prodotto e il quoziente di due numeri mwaw8 c {\displaystyle c} e mwaxa d {\displaystyle d} venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto mwaxe c d {\displaystyle cd} è l'antilogaritmo della somma dei logaritmi di mwaxi c {\displaystyle c} e mwaxm d {\displaystyle d} :

mwaxy c d = b log b ⁡ ⁡ ( c ) b log b ⁡ ⁡ ( d ) = b log b ⁡ ⁡ ( c ) + log b ⁡ ⁡ ( d ) . {\displaystyle cd=b^{\log _{b}(c)}b^{\log _{b}(d)}=b^{\log _{b}(c)+\log _{b}(d)}.}

Il quoziente mwaxg c / d {\displaystyle c/d} è l'antilogaritmo della differenza dei logaritmi di mwaxk c {\displaystyle c} e mwaxo d {\displaystyle d} :

mwax0 c d = c d − − 1 = b log b ⁡ ⁡ ( c ) − − log b ⁡ ⁡ ( d ) . {\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=b^{\log _{b}(c)-\log _{b}(d)}.}

Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di mwax8prostaferesi.

Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a mwayemoltiplicazione e divisione di logaritmi:

mwayq c d = ( b log b ⁡ ⁡ ( c ) ) d = b d log b ⁡ ⁡ ( c ) {\displaystyle c^{d}=(b^{\log _{b}(c)})^{d}=b^{d\log _{b}(c)}}

e

mwayg c d = c 1 d = b 1 d log b ⁡ ⁡ ( c ) . {\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=b^{{\frac {1}{d}}\log _{b}(c)}.}

Operando sui numeri reali, la mwazafunzione logaritmo è la mwazefunzione mwazi f : ( 0 , + ∞ ∞ ) → → R {\displaystyle f:(0,+\infty )\to \mathbb {R} } definita da

mwazu f ( x ) = log b ⁡ ⁡ ( x ) . {\displaystyle f(x)=\log _{b}(x).}

La funzione ha come dominio l'intervallo mwazc ( 0 , + ∞ ∞ ) . {\displaystyle (0,+\infty ).} In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base mwazg b {\displaystyle b} . La curva rossa è per la funzione con base mwazk b = e {\displaystyle b=e} mwazocostante di Nepero (valore approssimato: mwazs 2 , 718 {\displaystyle 2,718} ). Come si può notare dal grafico, il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle mwazw x {\displaystyle x} ), è l'intervallo mwaz0 ( 0 , + ∞ ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} ; mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle mwaz4 y {\displaystyle y} , è mwaz8 R {\displaystyle \mathbb {R} } .

La funzione logaritmo è mwaaiderivabile e la sua mwaamderivata è la seguente:

mwaay d d x log b ⁡ ⁡ x = 1 x ln ⁡ ⁡ b = log b ⁡ ⁡ e x , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}={\frac {\log _{b}e}{x}},}

dove mwaag ln {\displaystyle \ln } è il logaritmo naturale, cioè con base mwaak e {\displaystyle e} . In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel mwaaocalcolo infinitesimale:

mwaa0 d d x ln ⁡ ⁡ x = 1 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}

L'eguaglianza è dimostrabile usando la mwabaregola della funzione inversa:

mwabm ( f − − 1 ) ′ ( y 0 ) = 1 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle \left(f^{-1}\right)'\left(y_{0}\right)={\frac {1}{f'\left(x_{0}\right)}}}

La funzione inversa del logaritmo è la mwabufunzione esponenziale, la cui derivata coincide con sé stessa:

mwabg d d x e x = e x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}

Ne segue

mwabw d d x ln ⁡ ⁡ x = 1 d e ln ⁡ ⁡ x d ln ⁡ ⁡ x = 1 e ln ⁡ ⁡ x = 1 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{\frac {de^{\ln x}}{d\ln x}}}={\frac {1}{e^{\ln x}}}={\frac {1}{x}}.}

Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:

mwace d d x log b ⁡ ⁡ x = lim h → → 0 log b ⁡ ⁡ ( x + h ) − − log b ⁡ ⁡ x h {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}(x+h)-\log _{b}x}{h}}} mwacimwacmmwacq = lim h → → 0 log b ⁡ ⁡ ( x + h x ) h = lim h → → 0 log b ⁡ ⁡ ( 1 + h x ) h {\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}({\frac {x+h}{x}})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)}{h}}} mwacumwacy = lim h → → 0 log b ⁡ ⁡ ( 1 + h x ) h x x {\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)}{{\frac {h}{x}}x}}}

e, ricordando il mwacglimite notevole del logaritmo, si ottiene:

mwacsmwacwmwac0 = 1 x ln ⁡ ⁡ b . {\displaystyle ={\frac {1}{x\ln b}}.}

La mwadaderivata seconda della funzione logaritmo è

mwadm d 2 d x 2 log b ⁡ ⁡ x = − − 1 x 2 ln ⁡ ⁡ b . {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log _{b}x=-{\frac {1}{x^{2}\ln b}}.}

Se mwadu b > 1 {\displaystyle b>1} , questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi mwadyfunzione concava. Se mwadc b < 1 {\displaystyle b<1} è invece sempre positivo e la funzione è mwadgconvessa.

La funzione logaritmo è mwadscontinua e quindi mwadwintegrabile. La funzione integrale del logaritmo, con base generica mwad0 b {\displaystyle b} , è (applicando l'mwad4integrazione per parti):

mwaee ∫ ∫ log b ⁡ ⁡ x d x = x log b ⁡ ⁡ x − − x ln ⁡ ⁡ b + C = x log b ⁡ ⁡ ( x e ) + C {\displaystyle \int \log _{b}x\,dx=x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C}

dove mwaem C {\displaystyle C} è la costante di integrazione, cioè una costante reale arbitraria.

La funzione logaritmo è mwaeyanalitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola mwaecserie di potenze (come avviene ad esempio per la mwaegfunzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto mwaek R > 0 {\displaystyle R>0} ha infatti mwaeoraggio di convergenza mwaes R {\displaystyle R} ed è quindi convergente solo nell'intervallo mwaew ( 0 , 2 R ) {\displaystyle (0,2R)} . Ad esempio, lo sviluppo in mwae0 R = 1 {\displaystyle R=1} è il seguente:

mwafa ln ⁡ ⁡ ( 1 + x ) = ∑ ∑ k = 1 ∞ ∞ ( − − 1 ) k + 1 x k k = x − − x 2 2 + x 3 3 − − x 4 4 + … … {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots }

Per lo studio di funzioni esponenziali in cui è necessario estrapolare dati o parametri in modo semplice è possibile sfruttare la funzione logaritmo per ricavare una relazione implicita della funzione originale avente il vantaggio di essere lineare. Ad esempio, per una funzione descrivibile come

mwafu y = a e b x {\displaystyle y=ae^{bx}}

con mwafc a {\displaystyle a} e mwafg b {\displaystyle b} costanti è possibile pervenire alla relazione:

mwafs ln ⁡ ⁡ ( y ) = ln ⁡ ⁡ ( a e b x ) = ln ⁡ ⁡ ( a ) + ln ⁡ ⁡ ( e b x ) = ln ⁡ ⁡ ( a ) + b x {\displaystyle \ln \left(y\right)=\ln \left(ae^{bx}\right)=\ln \left(a\right)+\ln \left(e^{bx}\right)=\ln \left(a\right)+bx}

che sul piano semi-logaritmico rappresenta una retta che interseca l'asse delle ordinate in mwaf0 ln ⁡ ⁡ ( a ) , {\displaystyle \ln(a),} con derivata prima mwaf4 b {\displaystyle b} e angolo di inclinazione pari ad mwaf8 arctan ⁡ ⁡ ( b ) {\displaystyle \arctan(b)} : in questo modo l'estrapolazione dei dati per la nuova funzione è più semplice e accessibile.

La funzione logaritmo può essere estesa ai mwaggnumeri complessi diversi da zero. Nel caso in cui si tratti di un mwagklogaritmo naturale con argomento mwagocomplesso vale la formula seguente:

mwag0 ln ⁡ ⁡ z = ln ⁡ ⁡ | z | + i ( arg ⁡ ⁡ z + 2 π π k ) , z ∈ ∈ C , {\displaystyle \ln {z}=\ln {|z|}+i\left(\arg z+2\pi k\right),z\in \mathbb {C} ,}

con mwag8 i {\displaystyle i} l'mwahaunità immaginaria e mwahe arg ⁡ ⁡ z {\displaystyle \arg z} l'mwahiargomento di mwahm z {\displaystyle z} . Il logaritmo complesso è in realtà una mwahqfunzione a più valori, determinati dal parametro mwahuintero mwahy k {\displaystyle k} .

cite-note-11. ↑ mwah0S.K. Kate e H.R. Bhapkar, mwah41, in mwah8Basics Of Mathematics, Technical Publications, 2009, mwaiaISBNmwaie 978-81-8431-755-8.

• mwaiyIdentità sui logaritmi

• mwaigScala logaritmica

• mwaioLogaritmo integrale

• mwaiwFunzione esponenziale

• mwai4Polilogaritmo

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• citereftreccani-itLogaritmo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italianaGiovanni Vacca, LOGARITMO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1934.

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